TERCEIRA QUANTIZAÇÃO PELO SDCTIE GRACELI

TRANS-QUÂNTICA SDCTIE GRACELI, TRANSCENDENTE, RELATIVISTA SDCTIE GRACELI, E TRANS-INDETERMINADA.

FUNDAMENTA-SE EM QUE TODA FORMA DE REALIDADE SE ENCONTRA EM TRANSFORMAÇÕES, INTERAÇÕES, TRANSIÇÕES DE ESTADOS [ESTADOS DE GRACELI], ENERGIAS E FENÔMENOS DENTRO DE UM SISTEMA DE DEZ OU MAIS DIMENSÕES DE GRACELI, E CATEGORIAS DE GRACELI.

FUNÇÃO GERAL GRACELI DA TRANS- INDETERMINALIDADE PELO SDCTIE GRACELI

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DO SISTEMA [SDCTIE GRACELI] DE  INTERAÇÕES, TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS, DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.  E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =

TRANSFORMAÇÕES ⇔ INTERAÇÕES  ⇔  TUNELAMENTO ⇔ EMARANHAMENTO ⇔ CONDUTIVIDADE  ⇔ DIFRAÇÕES ⇔ estrutura eletrônica, spin, radioatividade, ABSORÇÕES E EMISSÕES INTERNA ⇔  Δ de temperatura e dinâmicas, transições de estados quântico Δ ENERGIAS,  ⇔   Δ MASSA ,   ⇔ Δ  CAMADAS ORBITAIS ,  ⇔  Δ FENÔMENOS  ,  ⇔  Δ  DINÂMICAS,   ⇔  Δ  VALÊNCIAS,   ⇔  Δ BANDAS,  Δ  entropia e de entalpia,  E OUTROS.  

x

 [EQUAÇÃO DE DIRAC].

 + FUNÇÃO TÉRMICA.

   +    FUNÇÃO DE RADIOATIVIDADE

  ,      +   FUNÇÃO DE TUNELAMENTO QUÂNTICO.

  + ENTROPIA REVERSÍVEL 

+      FUNÇÃO DE CONDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA

 ENERGIA DE PLANCK

X

• 
  V [R] [MA] =  Δe,M, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......

  ΤDCG

  X

  Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......  =
  x
  

  sistema de dez dimensões de Graceli + 

  DIMENSÕES EXTRAS DO SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.[como, spins, posicionamento, afastamento, ESTRUTURA ELETRÔNICA, e outras já relacionadas]..
• 
  
• DIMENSÕES DE FASES DE ESTADOS DE TRANSIÇÕES DE GRACELI.
  

  x

  sistema de transições de estados, e estados  de Graceli, fluxos aleatórios quântico, potencial entrópico e de entalpia. [estados de transições de fases de estados de estruturas, quântico, fenomênico, de energias, e dimensional [sistema de estados de Graceli].

  x

número atômico, estrutura eletrônica, níveis de energia 

[comprimento de onda (λ).

onde c, velocidade da luz, é igual a .]

X

• TEMPO ESPECÍFICO E FENOMÊNICO DE GRACELI.
• X
• CATEGORIAS DE GRACELI
• T l    T l     E l       Fl         dfG l   

  N l    El                 tf l

  P l    Ml                 tfefel 

  Ta l   Rl

           Ll
           D

X

 [ESTADO QUÂNTICO]

X

TODA FORMA DE FUNÇÃO E EQUAÇÃO EM:

Na mecânica quântica, a equação de Schrödinger é uma equação diferencial parcial que descreve como o estado quântico de um sistema físico muda com o tempo. Foi formulada no final de 1925, e publicado em 1926, pelo físico austríaco Erwin Schrödinger.^[1]

Na mecânica clássica, a equação de movimento é a segunda lei de Newton, (F = ma) utilizada para prever matematicamente o que o sistema fará a qualquer momento após as condições iniciais do sistema. Na mecânica quântica, o análogo da lei de Newton é a equação de Schrödinger para o sistema quântico (geralmente átomos, moléculas e partículas subatômicas sejam elas livres, ligadas ou localizadas). Não é uma equação algébrica simples, mas, em geral, uma equação diferencial parcial linear, que descreve o tempo de evolução da função de onda do sistema (também chamada de "função de estado").^[2]:1–2

O conceito de uma função de onda é um postulado fundamental da mecânica quântica. A equação de Schrödinger também é muitas vezes apresentada como um postulado separado, mas alguns autores^{[3]:Capítulo 3} afirmam que pode ser derivada de princípios de simetria. Geralmente, "derivações" da equação demonstrando sua plausibilidade matemática para descrever dualidade onda-partícula.

Na interpretação padrão da mecânica quântica, a função de onda é a descrição mais completa que pode ser dada a um sistema físico. As soluções para a equação de Schrödinger descrevem não só sistemas moleculares, atômicas e subatômicas, mas também os sistemas macroscópicos, possivelmente, até mesmo todo o universo.^[4]:292ff A equação de Schrödinger, em sua forma mais geral, é compatível tanto com a mecânica clássica ou a relatividade especial, mas a formulação original do próprio Schrödinger era não-relativista.

A equação de Schrödinger não é a única maneira de fazer previsões em mecânica quântica — outras formulações podem ser utilizadas, tais como a mecânica matricial de Werner Heisenberg, e o trajeto da integração funcional de Richard Feynman.

Índice

• 1Equação
  • 1.1Equação dependente do tempo
  • 1.2Equação independente do tempo
    • 1.2.1Equação unidimensional
    • 1.2.2Equação multidimensional
• 2Relação com outros princípios
• 3Partícula em uma caixa rígida
• 4Oscilador harmônico quântico
• 5Átomo de Hidrogênio
• 6Ver também
• 7Referências

Equação

Equação dependente do tempo

Usando a notação de Dirac, o vetor de estados é dado, em um instante ${\displaystyle t}$ por ${\displaystyle \left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle }$. A equação de Schrödinger dependente do tempo, então, escreve-se:^[5]

Equação de Schrödinger Dependente do Tempo (geral) ${\displaystyle {\hat {H}}\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle }$

Em que ${\displaystyle i}$ é a unidade imaginária, ${\displaystyle \hbar }$ é a constante de Planck dividida por ${\displaystyle 2\pi }$, e o Hamiltoniano ${\displaystyle {\hat {H}}}$ é um operador auto-adjunto atuando no vetor de estados. O Hamiltoniano representa a energia total do sistema. Assim como a força na segunda Lei de Newton, ele não é definido pela equação e deve ser determinado pelas propriedades físicas do sistema.

Equação independente do tempo

Equação unidimensional

Em uma dimensão, a equação de Schrödinger independente do tempo para uma partícula escreve-se:^[6]

${\displaystyle {\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}\left(x\right)+V\left(x\right)\psi \left(x\right)=E\psi \left(x\right)}$,

em que ${\displaystyle \psi \left(x\right)}$ é a função de onda independente do tempo em função da coordenada ${\displaystyle x}$; ${\displaystyle \hbar }$ é a constante de Planck ${\displaystyle h}$ dividida por ${\displaystyle 2\pi }$; ${\displaystyle m}$ é a massa da partícula; ${\displaystyle V\left(x\right)}$ é a função energia potencial e ${\displaystyle E}$ é a energia do sistema.

Equação multidimensional

Em mais de uma dimensão a equação de Schrödinger independente do tempo para uma partícula escreve-se:^[7]

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{{\nabla }^{2}}\psi \left({\vec {r}}\right)+V\left({\vec {r}}\right)\psi \left({\vec {r}}\right)=E\psi \left({\vec {r}}\right)}$

em que ${\displaystyle {\nabla }^{2}\psi =\sum _{n=1}^{N}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x_{n}^{2}}}}$ é o operador laplaciano em ${\displaystyle N}$ dimensões aplicado à função ${\displaystyle \psi }$.

Relação com outros princípios

Uma maneira mais didática de observar a equação de Schrödinger é em sua forma independente do tempo e em uma dimensão. Para tanto, serão necessárias três relações:

Definição de Energia Mecânica: ${\displaystyle E_{m}=E_{c}+V}$

Equação do Oscilador harmônico: ${\displaystyle \quad {\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+\left({\frac {2\pi }{\lambda }}\right)^{2}\psi =0}$

Relação de De Broglie: ${\displaystyle \lambda ={\frac {h}{p}}}$

Onde ${\displaystyle \psi }$ é a função de onda, ${\displaystyle \lambda }$ é o comprimento de onda, h é a constante de Planck e p é o momento linear.

Da Relação de De Broglie, temos que ${\displaystyle \lambda ={\frac {h}{mv}}}$, que pode ser substituída na equação do Oscilador Harmônico:

${\displaystyle \quad {\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+\left({\frac {2\pi mv}{h}}\right)^{2}\psi =0\to \quad {\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}={\frac {-4(\pi )^{2}m^{2}v^{2}}{h^{2}}}\psi \to {\frac {-h^{2}}{4(\pi )^{2}m^{2}}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}=v^{2}\psi }$

Rearranjando a equação de energia, temos que ${\displaystyle v^{2}={\frac {2(E_{m}-V)}{m}}}$, substituindo ${\displaystyle v^{2}}$ na equação anterior:

${\displaystyle {\frac {-h^{2}}{4(\pi )^{2}m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}=2(E_{m}-V)\psi }$ , definindo ${\displaystyle \hbar \ ={\frac {h}{2\pi }}}$, temos:

${\displaystyle {\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+V\psi =E\psi }$

Que é a Equação Independente do Tempo de Schrödinger e também pode ser escrita na notação de operadores:

${\displaystyle {\widehat {H}}\psi =E\psi }$, em que ${\displaystyle {\widehat {H}}\psi }$ é o Operador Hamiltoniano operando sobre a função de onda.

Partícula em uma caixa rígida

Ver artigo principal: Partícula em uma caixa

Oscilador harmônico quântico

Ver artigo principal: Oscilador harmônico quântico

Assim como na mecânica clássica, a energia potencial do oscilador harmônico simples unidimensional é:^[8]

${\displaystyle V\left(x\right)={\frac {1}{2}}kx^{2}}$

Lembrando a relação ${\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}}$, também pode se escrever:

${\displaystyle V\left(x\right)={\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}}$

Então a equação de Schrödinger para o sistema é:

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}\psi =E\psi }$

Solucionando a equação de Schrödinger, obtém-se os seguintes estados estacionários:

${\displaystyle \psi _{n}(x)={\sqrt {\frac {1}{2^{n}\,n!}}}\cdot \left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/4}\cdot e^{-{\frac {m\omega x^{2}}{2\hbar }}}\cdot H_{n}\left({\sqrt {\frac {m\omega }{\hbar }}}x\right),\qquad }$

${\displaystyle n=0,1,2,\ldots .}$

em que H_n são os polinômios de Hermite.

${\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(e^{-x^{2}}\right)}$

E os níveis de energia correspondentes são:

${\displaystyle E_{n}=\hbar \omega \left(n+{1 \over 2}\right).}$

Isso ilustra novamente a quantização da energia de estados ligados.

A equação de Schrödinger

A integral de caminhol reproduz a equação de Schrödinger para os estados iniciais e finais, mesmo quando um potencial está presente. Isso é fácil de ver tomando a integral de caminho sobre intervalos de tempos infinitesimalmente separados.

${\displaystyle \psi (y;t+\epsilon )=\int _{-\infty }^{\infty }\;\;\psi (x;t)\int _{x(t)=x}^{x(t+\epsilon )=y}e^{{\rm {i}}\int _{t}^{t+\epsilon }({\frac {{\dot {x}}^{2}}{2}}-V(x))dt}Dx(t)\,dx\qquad (1)}$

Uma vez que  a fração de tempo é infinitesimal e as oscilações (que se cancelam) tornaram-se mais bruscas para grandes valores de ẋ, a integral de caminho passa a ser mais relevante para para y próximo de x. Neste caso, a ordem mais baixa da energia potencial é constante, e apenas a contribuição de energia cinética é não trivial. O termo da ação é:

${\displaystyle e^{-{\rm {i}}\epsilon V(x)}e^{{\rm {i}}{\frac {{\dot {x}}^{2}}{2}}\epsilon }\,}$

O primeiro termo gira a fase de ψ(x) localmente por uma quantidade proporcional à energia potencial. O segundo termo é o propagador da partícula livre, correspondente a i vezes um processo de difusão.  Para a ordem mais baixa em ε os termos são aditivos.

${\displaystyle \psi (y;t+\epsilon )\approx \int \psi (x;t)e^{-{\rm {i}}\epsilon V(x)}e^{{\rm {i}}(x-y)^{2} \over 2\epsilon }dx\,.}$

Como mencionado, o espalhamento difusivo em ψ provem do propagador da partícula livre, com uma rotação infinitesimal na fase que varia lentamente de ponto a ponto do potencial. Além disso, tem-se que:

${\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}={\rm {i}}\cdot \left[{\frac {1}{2}}\nabla ^{2}-V(x)\right]\psi \,}$

que é a equação de Schrödinger. Observe que a normalização da integral de caminho precisa ser corrigido da mesma maneira como no caso da partícula. Um potencial arbitrário contínuo não afeta a normalização, embora potenciais singulares exigem um tratamento cuidadoso.

Equações do movimento

Uma vez que os estados obedecer a equação de Schrödinger, a integral de caminho deve reproduzir as equações de movimento de Heisenberg para as médias de x e ẋ, mas é mais instrutivo ver isso diretamente. A abordagem direta mostra que a valores esperados calculados a partir da integral de caminho integral reproduzem os valores esperados usuais da mecânica quântica.

Começando por considerar a integral de caminho integral em estado inicial fixo.

${\displaystyle \int \psi _{0}(x)\int _{x(0)=x}e^{{\rm {i}}S(x,{\dot {x}})}Dx\,}$

Note que que x(t) em cada tempo é uma variável de integração. Assim, é legítima a mudança de variáveis na integral : x(t) = u(t) +ε(t) onde ε(t) é uma deslocamento que pode ser diferente para cada valor de t, impondo condições nos extremos por ε(0) = ε(T) = 0, para que assim os pontos das extremidades não sejam incorporados a integral:

${\displaystyle \int \psi _{0}(x)\int _{u(0)=x}e^{{\rm {i}}S(u+\epsilon ,{\dot {u}}+{\dot {\epsilon }})}Du\,}$

A alteração na integral por deslocamentos é, em ordem infinitesimal na variável ε:

${\displaystyle \int \psi _{0}(x)\int _{u(0)=x}\left(\int {\partial S \over \partial u}\epsilon +{\partial S \over \partial {\dot {u}}}{\dot {\epsilon }}dt\right)e^{iS}Du\,}$

que, integrando por partes em t, obtém-se:

${\displaystyle \int \psi _{0}(x)\int _{u(0)=x}-\left(\int \left({d \over dt}{\partial S \over \partial {\dot {u}}}-{\partial S \over \partial u}\right)\epsilon (t)dt\right)e^{iS}Du\,}$

Mas isso foi apenas uma deslocamento nas variáveis de integração, o que não altera o valor da integral para qualquer escolha de ε(t). A conclusão é que a variações de primeira ordem é zero para um estado inicial arbitrário e em qualquer ponto arbitrário no tempo:

${\displaystyle \langle \psi _{0}|{\delta S \over \delta x}(t)|\psi _{0}\rangle =0\,}$

que é a equação de movimento de Heisenberg.

Se a ação contém termos que multiplicam ẋ e x, para um mesmo tempo t, manipulações acima são apenas heurístico, pois as regras de multiplicação para essas quantidades não comutam (na formulação de integral de caminho) assim como é no formalismo de operadores.

Aproximação de fase estacionária

Se a variação da ação excede ħ por muitas ordens de magnitude, normalmente têm-se uma fase destrutiva fase de interferência outros do que na vizinhança desses trajetórias de satisfazer a quação de Euler–Lagrange, que agora é reinterpretado como a condição para a fase construtiva interferência. Isso pode ser mostrado usando o método da fase estacionária aplicada ao propagador. A medida que ħ diminui, a exponencial na integral oscila rapidamente no domínio complexo para qualquer alteração na ação. Assim, no limite de ħ  vai para zero, apenas os pontos onde a ação clássica não varia contribuem para o propagador.

Relações de comutação canônicas

A formulação da integral de caminho não deixa claro à primeira vista que as quantidades x e p não comutam. Na integral de caminho, x e p são apenas variáveis de integração não têm ordem obvia. Feynman descobriu que a não-comutatividade ainda estava presente.^[7]

Para ver isso, considere a integral de caminho simples, a caminhada aleatória do movimento browniano. Não estamos tratando de mecânica quântica, assim, na integral de caminho integral a ação não é multiplicado por i:

${\displaystyle S=\int \left({dx \over dt}\right)^{2}dt\,}$

A quantidade x(t) é flutuante, e sua derivada é definido como o limite de uma diferença discreta.

${\displaystyle {dx \over dt}={x(t+\epsilon )-x(t) \over \epsilon }\,}$

Observe que a distância que um a caminhada aleatória é proporcional a √t, de modo que:

${\displaystyle x(t+\epsilon )-x(t)\approx {\sqrt {\epsilon }}\,}$

Isso mostra que o movimentovnão é diferenciável, pois a relação que define a derivada diverge com probabilidade um.

A quantidade x ẋ é ambígua, com dois significados possíveis:

${\displaystyle [1]=x{dx \over dt}=x(t){(x(t+\epsilon )-x(t)) \over \epsilon }\,}$

Em cálculo elementar, os dois são diferentes apenas por uma quantia que vai para zero à medida que ε vai para zero. Mas, neste caso, a diferença entre os dois não é igual a zero:

${\displaystyle [2]-[1]={(x(t+\epsilon )-x(t))^{2} \over \epsilon }\approx {\epsilon \over \epsilon }\,}$

definindo o valor da diferença para qualquer passeio aleatório por uma função f:

${\displaystyle {(x(t+\epsilon )-x(t))^{2} \over \epsilon }=f(t)\,}$

e notando que f(t) é uma quantidade estatística de alta flutuação, cujo valor médio é de 1, i.e. um "processo Gaussiano" normalizado. As flutuações de uma tal quantidade pode ser descrita por uma Lagrangeana estatística

${\displaystyle {\mathcal {L}}=(f(t)-1)^{2}\,,}$

Para obter e as equações de movimento de f derivados da extremização da ação S correspondente a ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

Definindo a ordem temporal como um operador de ordenação:

${\displaystyle [x,{\dot {x}}]=x{dx \over dt}-{dx \over dt}x=1\,}$

que é o chamado lema de Itō em cálculo estocástico, e de relações de comutação canônicas (euclidianas) em física.

Para uma ação estatística geral, um argumento similar mostra que

${\displaystyle \left[x,{\partial S \over \partial {\dot {x}}}\right]=1\,}$

e na mecânica quântica, a unidade imaginário multiplicativa na ação converte a relação anterior para a relação de comutação canônica:

${\displaystyle [x,p]={\rm {i}}\,}$

Partícula no espaço curvo

Para uma partícula no espaço curvo o termo cinética depende da posição, e a fração temporal superior não pode ser aplicada, sendo isto uma manifestação do problema do operador pedido. Pode-se, no entanto, resolver este problema transformando a integral de caminho em um espaço curvo, usando uma transformação de coordenadas múltiplas.( mapeamento não holonômico explicado aqui).

A integral de caminho e a função de partição

A integral de caminho é apenas a generalização da integral a seguir para todos problemas da mecânica quântica - 

${\displaystyle Z=\int e^{{\rm {i}}{\mathcal {S}}[x]/\hbar }Dx\,}$  onde  ${\displaystyle {\mathcal {S}}[x]=\int _{0}^{T}L[x(t)]\mathrm {d} t}$

Lema de Itō

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Em matemática, o lema de Itō é uma identidade usada em cálculo de Itō para encontrar a diferencial de uma função dependente do tempo de um processo estocástico. É o análogo em cálculo estocástico da regra da cadeia do cálculo comum. Pode ser heuristicamente derivado ao formar a expansão da série de Taylor de uma função, separando suas derivadas de segunda ordem e retendo termos até a primeira ordem no incremento do tempo e a segunda ordem no incremento de processo de Wiener. O lema é amplamente empregado em matemática financeira e sua aplicação mais conhecida é a derivação da equação de Black-Scholes para valores de opção.

O lema de Itō, que recebe este nome em homenagem a Kiyoshi Itō, é ocasionalmente referido como o teorema de Itō-Doeblin em reconhecimento ao trabalho postumamente descoberto de Wolfgang Döblin.^[1]

Enquanto o lema de Itō foi provado por Kiyoshi Itō, o teorema de Itō, um resultado em teoria dos grupos, recebe este nome devido a Noboru Itō.^[2]

Índice

• 1Derivação informal
• 2Formulação matemática do lema de Itō
  • 2.1Processos de tendência-difusão (drift-diffusion) de Itō
  • 2.2Processo de salto de Poisson
  • 2.3Semimartingales não contínuos
    • 2.3.1Processos de salto não contínuos múltiplos
• 3Exemplos
  • 3.1Movimento browniano geométrico
  • 3.2Exponencial de Doléans-Dade
  • 3.3Fórmula de Black-Scholes
• 4Ver também
• 5Referências

Derivação informal

Uma prova formal do lema se baseia em tomar o limite de uma sequência de variáveis aleatórias.^[3] Esta abordagem não é apresentada aqui, já que envolve uma série de detalhes técnicos. Em vez disto, segue abaixo um esboço de como se pode derivar o lema de Itō ao expandir uma série de Taylor e aplicar as regras do cálculo estocástico.

Considere X_t um processo de tendência-difusão de Itō que satisfaz à equação diferencial estocástica

${\displaystyle dX_{t}=\mu _{t}\,dt+\sigma _{t}\,dB_{t},}$

em que B_t é um processo de Wiener. Se f(t,x) for uma função escalar duplamente diferenciável, sua expansão em uma série de Taylor é

${\displaystyle df={\frac {\partial f}{\partial t}}\,dt+{\frac {\partial f}{\partial x}}\,dx+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\,dx^{2}+\cdots .}$

Substituindo X_t por x e μ_t dt + σ_t dB_t por dx temos

${\displaystyle df={\frac {\partial f}{\partial t}}\,dt+{\frac {\partial f}{\partial x}}(\mu _{t}\,dt+\sigma _{t}\,dB_{t})+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\left(\mu _{t}^{2}\,dt^{2}+2\mu _{t}\sigma _{t}\,dt\,dB_{t}+\sigma _{t}^{2}\,dB_{t}^{2}\right)+\cdots .}$

No limite dt → 0, os termos dt² e dt dB_t tendem a zero mais rapidamente que dB², que é O(dt). Configurando os termos dt² e dt dB_t a zero, substituindo dt por dB² e coletando os termos dt e dB, obtemos

${\displaystyle df=\left({\frac {\partial f}{\partial t}}+\mu _{t}{\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {\sigma _{t}^{2}}{2}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\right)dt+\sigma _{t}{\frac {\partial f}{\partial x}}\,dB_{t}}$

como exigido.

Formulação matemática do lema de Itō

Nas subseções seguintes, são discutidas versões de lema de Itō para diferentes tipos de processos estocásticos.^[4]

Processos de tendência-difusão (drift-diffusion) de Itō

Em sua forma mais simples, o lema de Itō afirma que, para um processo de tendência-difusão de Itō^[5]

${\displaystyle dX_{t}=\mu _{t}\,dt+\sigma _{t}\,dB_{t}}$

em que ${\displaystyle dB_{t}}$ é a diferencial do movimento Browniano. Para qualquer função escalar duplamente diferenciável f(t,x) de duas variáveis reais t e x, tem-se

${\displaystyle df(t,X_{t})=\left({\frac {\partial f}{\partial t}}+\mu _{t}{\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {\sigma _{t}^{2}}{2}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\right)dt+\sigma _{t}{\frac {\partial f}{\partial x}}\,dB_{t}.}$

Isto imediatamente implica que f(t,X_t) é um processo de tendência-difusão de Itō.

Em dimensões mais elevadas, se ${\displaystyle \mathbf {X} _{t}=(X_{t}^{1},X_{t}^{2},\ldots ,X_{t}^{n})^{T}}$ é um vetor de processo de Itō,^[6] tal que

${\displaystyle d\mathbf {X} _{t}={\boldsymbol {\mu }}_{t}\,dt+\mathbf {G} _{t}\,d\mathbf {B} _{t}}$

para um vetor ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{t}}$ e uma matriz ${\displaystyle \mathbf {G} _{t}}$, o lema de Itō afirma então que

${\displaystyle {\begin{aligned}df(t,\mathbf {X} _{t})&={\frac {\partial f}{\partial t}}\,dt+\left(\nabla _{\mathbf {X} }f\right)^{T}\,d\mathbf {X} _{t}+{\frac {1}{2}}\left(d\mathbf {X} _{t}\right)^{T}\left(H_{\mathbf {X} }f\right)\,d\mathbf {X} _{t},\\&=\left\{{\frac {\partial f}{\partial t}}+\left(\nabla _{\mathbf {X} }f\right)^{T}{\boldsymbol {\mu }}_{t}+{\frac {1}{2}}{\text{Tr}}\left[\mathbf {G} _{t}^{T}\left(H_{\mathbf {X} }f\right)\mathbf {G} _{t}\right]\right\}dt+\left(\nabla _{\mathbf {X} }f\right)^{T}\mathbf {G} _{t}\,d\mathbf {B} _{t}\end{aligned}}}$

em que ∇_X f é o gradiente de f em relação a X, H_X f é a matriz hessiana de f em relação a X, e Tr é o operador traço.

Processo de salto de Poisson

Também é possível definir funções relativas a processos estocásticos descontínuos.^[7]

Considere h a densidade do salto. O modelo de processo de Poisson para saltos diz que a probabilidade de um salto no intervalo [t, t + Δt] é hΔt mais termos de ordem mais elevada. h pode ser uma constante, uma função determinística do tempo ou um processo estocástico. A probabilidade de sobrevivência p_s(t) é a probabilidade de que nenhum salto ocorra no intervalo [0, t]. A mudança na probabilidade de sobrevivência é

${\displaystyle dp_{s}(t)=-p_{s}(t)h(t)\,dt.}$

Então

${\displaystyle p_{s}(t)=\exp \left(-\int _{0}^{t}h(u)\,du\right).}$

Considere S(t) um processo estocástico descontínuo. ${\displaystyle S(t^{-})}$ é o valor de ${\displaystyle S}$ conforme se aproxima ${\displaystyle t}$ a partir da esquerda. ${\displaystyle d_{j}S(t)}$ é a mudança não infinitesimal em S(t) como um resultado de um salto. Então

${\displaystyle d_{j}S(t)=\lim _{\Delta t\to 0}(S(t+\Delta t)-S(t^{-}))}$

Considere ${\displaystyle z}$ a magnitude do salto e ${\displaystyle \eta (S(t^{-}),z)}$ a distribuição de probabilidade de ${\displaystyle z}$. A magnitude esperada do salto é

${\displaystyle E[d_{j}S(t)]=h(S(t^{-}))\,dt\int _{z}z\eta (S(t^{-}),z)\,dz.}$

Defina ${\displaystyle dJ_{S}(t)}$, um processo compensado e martingale, como

${\displaystyle dJ_{S}(t)=d_{j}S(t)-E[d_{j}S(t)]=S(t)-S(t^{-})-\left(h(S(t^{-}))\int _{z}z\eta \left(S(t^{-}),z\right)\,dz\right)\,dt.}$

Então

${\displaystyle d_{j}S(t)=E[d_{j}S(t)]+dJ_{S}(t)=h(S(t^{-}))\left(\int _{z}z\eta (S(t^{-}),z)\,dz\right)dt+dJ_{S}(t).}$

Considere uma função ${\displaystyle g(S(t),t)}$ do processo de salto dS(t). Se S(t) salta Δs, então g(t) salta Δg. Δg é tirado da distribuição ${\displaystyle \eta _{g}()}$ que pode depender de ${\displaystyle g(t^{-})}$, dg e ${\displaystyle S(t^{-})}$. A parte de salto de ${\displaystyle g}$ é

${\displaystyle g(t)-g(t^{-})=h(t)\,dt\int _{\Delta g}\,\Delta g\eta _{g}(\cdot )\,d\Delta g+dJ_{g}(t).}$

Se ${\displaystyle S}$ contém tendência, difusão e salto, então o lema de Itō para ${\displaystyle g(S(t),t)}$ é

${\displaystyle dg(t)=\left({\frac {\partial g}{\partial t}}+\mu {\frac {\partial g}{\partial S}}+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}{\frac {\partial ^{2}g}{\partial S^{2}}}+h(t)\int _{\Delta g}\left(\Delta g\eta _{g}(\cdot )\,d{\Delta }g\right)\,\right)dt+{\frac {\partial g}{\partial S}}\sigma \,dW(t)+dJ_{g}(t).}$

O lema de Itō para um processo que é a soma de processo de tendência-difusão e um processo de salto é simplesmente a soma do lema de Itō para as partes individuais.

Semimartingales não contínuos

O lema de Itō também pode ser aplicado a semimartingales gerais de ${\displaystyle d}$ dimensões, que não precisam ser contínuos.^[8] Em geral, um semimartingale é um processo càdlàg e um termo adicional precisa ser adicionado à fórmula para garantir que os saltos do processo estejam corretamente dados pelo lema de Itō. Para qualquer processo càdlàg Y_t, o limite à esquerda em ${\displaystyle t}$ é denotado por Y_t−, que é um processo contínuo à esquerda. Os saltos são escritos como ΔY_t = Y_t − Y_t−. Então, o lema de Itō afirma que, se X = (X¹, X², ..., X^d) for um semimartingale de ${\displaystyle d}$ dimensões e ${\displaystyle f}$ for uma função de valores reais duplamente e continuamente diferenciável em R^d, então, ${\displaystyle f(X)}$ é um semimartingale e

${\displaystyle {\begin{aligned}f(X_{t})&=f(X_{0})+\sum _{i=1}^{d}\int _{0}^{t}f_{i}(X_{s-})\,dX_{s}^{i}+{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{d}\int _{0}^{t}f_{i,j}(X_{s-})\,d[X^{i},X^{j}]_{s}\\&\qquad +\sum _{s\leq t}\left(\Delta f(X_{s})-\sum _{i=1}^{d}f_{i}(X_{s-})\,\Delta X_{s}^{i}-{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{d}f_{i,j}(X_{s-})\,\Delta X_{s}^{i}\,\Delta X_{s}^{j}\right).\end{aligned}}}$

Isto difere da fórmula para semimartingales contínuos pelo termo adicional somando ao longo dos saltos de ${\displaystyle X}$, garantindo que o salto do lado direito no tempo ${\displaystyle t}$ seja ${\displaystyle \Delta f(X_{t})}$.

Processos de salto não contínuos múltiplos

Também há uma versão disto para um função ${\displaystyle f}$ duplamente e continuamente diferenciável no espaço e unicamente diferenciável no tempo avaliado em semimartingales (potencialmente diferentes) não contínuos que pode ser escrita da seguinte forma:

${\displaystyle {\begin{aligned}f(t,X_{t}^{1},...,X_{t}^{d})&=f(0,X_{0}^{1},...,X_{0}^{d})+\int _{0}^{t}{\dot {f}}({s_{-}},X_{s_{-}}^{1},...,X_{s_{-}}^{d})d{s}\\&+\sum _{i=1}^{n}\int _{0}^{t}f_{i}({s_{-}},X_{s_{-}}^{1},...,X_{s_{-}}^{d})\,dX_{s}^{(c,i)}\\&+{\frac {1}{2}}\sum _{i_{1},..,i_{d}=1}^{d}\int _{0}^{t}f_{i_{1},..,i_{d}}({s_{-}},X_{s_{-}}^{1},...,X_{s_{-}}^{d})\,dX_{s}^{(c,i_{1})}...X_{s}^{(c,i_{d})}\\&+\sum _{0<s\leq t}\left[f(s,X_{s}^{1},...,X_{s}^{d})-f({s_{-}},X_{s_{-}}^{1},...,X_{s_{-}}^{d})\right]\end{aligned}}}$

Em que ${\displaystyle X^{c,i}}$ denota a parte contínua do ${\displaystyle i}$-ésimo semimartingale.

Exemplos

Movimento browniano geométrico

Um processo ${\displaystyle S}$ segue um movimento browniano geométrico com volatilidade constante ${\displaystyle \sigma }$ e deriva constante ${\displaystyle \mu }$ se satisfizer à equação diferencial estocástica dS = S(σdB + μdt) para um movimento browniano ${\displaystyle B}$. Aplicando-se o lema de Itō com ${\displaystyle f(S)=log(S)}$, temos

${\displaystyle {\begin{aligned}d\log(S)&=f^{\prime }(S)\,dS+{\frac {1}{2}}f^{\prime \prime }(S)S^{2}\sigma ^{2}\,dt\\&={\frac {1}{S}}\left(\sigma S\,dB+\mu S\,dt\right)-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\,dt\\&=\sigma \,dB+\left(\mu -{\tfrac {\sigma ^{2}}{2}}\right)\,dt.\end{aligned}}}$

Segue-se disto

${\displaystyle \log(S_{t})=\log(S_{0})+\sigma B_{t}+\left(\mu -{\tfrac {\sigma ^{2}}{2}}\right)t,}$

e a exponenciação dá para ${\displaystyle S}$ a expressão

${\displaystyle S_{t}=S_{0}\exp \left(\sigma B_{t}+\left(\mu -{\tfrac {\sigma ^{2}}{2}}\right)t\right).}$

O tempo de correção de − σ²2 corresponde à diferença entre a mediana e a média da distribuição log-normal ou, equivalentemente a esta distribuição, a média geométrica e a média aritmética, sendo a mediana (média geométrica) mais baixa. Isto se deve à desigualdade das médias e corresponde ao logaritmo sendo convexo para baixo, então o termo de correção pode, portanto, ser interpretado como uma correção de convexidade. Isto é uma versão infinitesimal do fato de que o retorno anualizado é menor que o retorno médio, sendo diferença proporcional à variância.

O mesmo fator de σ²2 aparece nas variáveis auxiliares ${\displaystyle d_{1}}$ e ${\displaystyle d_{2}}$ da fórmula de Black-Scholes e pode ser interpretado como uma consequência do lema de Itō.

Exponencial de Doléans-Dade

O exponencial de Doléans-Dade (ou exponencial estocástico) de um semimartingale contínuo ${\displaystyle X}$ pode ser definido como a solução da equação diferencial estocástica dY = Y dX com condição inicial Y₀ = 1. É às vezes denotado como Ɛ(X). Aplicando-se o lema de Itō com ${\displaystyle f(Y)=log(Y)}$, temos

${\displaystyle {\begin{aligned}d\log(Y)&={\frac {1}{Y}}\,dY-{\frac {1}{2Y^{2}}}\,d[Y]\\&=dX-{\tfrac {1}{2}}\,d[X].\end{aligned}}}$

A exponenciação dá a solução

${\displaystyle Y_{t}=\exp \left(X_{t}-X_{0}-{\tfrac {1}{2}}[X]_{t}\right).}$

Fórmula de Black-Scholes

O lema de Itō pode ser usado para derivar a fórmula de Black-Scholes para uma opção.^[9] Suponha que o preço de uma ação segue um movimento browniano geométrico dado pela equação diferencial estocástica dS = S(σdB + μ dt). Então, se o valor de uma opção no tempo ${\displaystyle t}$ for ${\displaystyle f(t,S_{t})}$, o lema de Itō dá

${\displaystyle df(t,S_{t})=\left({\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\left(S_{t}\sigma \right)^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial S^{2}}}\right)\,dt+{\frac {\partial f}{\partial S}}\,dS_{t}.}$

O termo ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial S}}\,dS_{t}}$ representa a variação no valor no tempo ${\displaystyle dt}$ da estratégia de negociação que consiste em manter em carteira uma quantidade ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial S}}}$ da ação. Seguindo essa estratégia e considerando que qualquer quantidade de dinheiro mantida é remunerada à taxa livre de risco ${\displaystyle r}$, então o valor total ${\displaystyle V}$ deste portfólio satisfaz à equação diferencial estocástica

${\displaystyle dV_{t}=r\left(V_{t}-{\frac {\partial f}{\partial S}}S_{t}\right)\,dt+{\frac {\partial f}{\partial S}}\,dS_{t}.}$

Esta estratégia replica a opção se ${\displaystyle V=f(t,S)}$. A combinação destas equações resulta na famosa equação de Black-Scholes

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\sigma ^{2}S^{2}}{2}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial f}{\partial S}}-rf=0.}$